【Python】べイズの定理　初心者向けに分かりやすく解説

はじめに

Pythonでべイズの定理を解説したいと思います。

こういった悩みをおもちの方におすすめの記事です。

この記事のゴール

ベイスの定理とは？

べイズの定理の例題

問題

問題：参加者が取り出した玉の色から、選ばれた袋がA,Bのどちらであるか推定する

条件は以下です。

• 赤玉と白玉が入った袋Aと袋Bがある
• 袋Aには赤玉が1つ、白玉が1つはいっている
• 袋Bには赤玉が1つ、白玉が2つはいっている
• A,Bどちらかの袋から玉を一つ取り出す
• しかし、観測者には、どちらの袋が選ばれたかは不明である
• 参加者は袋から玉を取り出し、色を確認したら袋に戻す

解き方

この問題を解くのにべイズの定理を使用します。

それぞれの事象の確率を配列に格納する

# 袋の種類
Bag_A = 0
Bag_B = 1
# 玉の色
Ball_Red = 0
Ball_White = 1
# 袋を選ぶ確率
prob_bag = []
prob_bag.insert(Bag_A, 1/2)
prob_bag.insert(Bag_B, 1/2)
# 袋内の玉の色を選ぶ確率
prob_ball = []
prob_ball_a = []
prob_ball_a.insert(Ball_Red, 1/2)
prob_ball_a.insert(Ball_White, 1/2)
prob_ball.insert(Bag_A, prob_ball_a)
prob_ball_b = []
prob_ball_b.insert(Ball_Red, 1/3)
prob_ball_b.insert(Ball_White, 2/3)
prob_ball.insert(Bag_B, prob_ball_b)

ここで配列に挿入する関数としてinsertを用います。insert関数の使い方は、以下です。

よって出力結果は以下です。

それぞれの配列(prob_ball_a,prob_ball_b)に、

• 赤玉と白玉を取り出す確率を定義

べイズの定理を用いて確率を算出

上記を使って、先ほどの問題を解きます。

仮に以下のように設定してみましょう。

• P(B|A)：白い玉を取りだした時の袋Aの確率

よって、確率は以下のようになります。

• P(A|B)：袋Aから白い玉を1個取り出す確率=1/2
• P(A|Bc)：袋Bから白い玉を1個取り出す確率=2/3
• P(B)：袋Aの確率=1/2
• P(Bc)：袋Bの確率=1/2

P(B|A) = (1/2*1/2)/{(1/2*1/2)+(2/3*1/2)}=0.25/(0.25+0.33…)=0.25/0.5833…=0.428571…

おおよそ42.9%と求まります。

これをコードで実装すると以下のようになります。

# 事後確率を計算する
def posterior(ball_list, bag):
    if len(ball_list) == 1:
        return prob_ball[bag][ball_list[0]] * prob_bag[bag]
    else:
        return prob_ball[bag][ball_list[0]] * posterior(ball_list[1:], bag)

# 袋Aが選ばれる確率を計算する
def posterior_a(ball_list):
    return posterior(ball_list, Bag_A) / (posterior(ball_list, Bag_A) + posterior(ball_list, Bag_B))

ball = [Ball_White] 
posterior_a(ball)

出力結果は、以下です。

• 0.4285714285714286

計算結果通りになりました。

つまり、白玉一つの場合は、袋Aの確率が、43%で、袋Bの確率が57%です。

参考

白玉3つ　且つ　赤玉3つの場合は、以下のように計算することができます。

ball = [Ball_White] *3
ball.extend([Ball_Red] * 3)
posterior_a(ball)

posterior(ball_list, bag)という関数の中に、posterior(ball_list[1:], bag)が入っていますね。

このように繰り返し演算することをリカーシブルと呼びます。

まとめ

今回は、Pythonでべイズの定理を解説しました。

• べイズの定理とは、ある事象において、「結果」が観測されたとき、その背景にある「原因」の確率を求めたいときに使う定理です。

もっとPythonの勉強をしたいという方は、こちらの記事も参考にしてみてください。

今回の記事は、以上です。

最後までお読み頂きありがとうございました。