Python BayesianOptimizationによるベイズ最適化入門

どうも、月見（@Suzuka14144156）です。

今回は、BayesianOptimizationによるベイズ最適化について解説します。

BayesianOptimizationのインストール方法

以下をコマンドプロンプトに入力する。

pip install bayesian-optimization

ベイズ最適化とは？

ベイズ最適化 (Bayesian Optimization) とは、形状が不明な関数 (ブラックボックス関数) の最大値 (または最小値) を求めるための手法です。

詳細は、以下の本を参考にしてみてください。

具体例をみていきましょう。

BayesianOptimizationよるベイズ最適化

真値の関数の定義

まずは、以下の関数を実装します。

from bayes_opt import BayesianOptimization
from bayes_opt import UtilityFunction
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import gridspec

def target(x):
    return np.exp(-(x - 2)**2) + np.exp(-(x - 6)**2/10) + 1/ (x**2 + 1)
x = np.linspace(-2, 10, 10000).reshape(-1, 1)
y = target(x)

plt.plot(x, y)
plt.show()

出力結果は、以下のようになるかと思います。

ベイズ最適化で最大値を求める

最大化するターゲット関数、その変数、および対応する範囲を入力します。アルゴリズムを開始するには、最低 2 つの初期推測が必要です。これらは、ランダムまたはユーザー定義のいずれかです。この例では、ユーティリティ関数として上限信頼限界 (UCB) を使用します。探索と搾取のバランスを制御するパラメーターがあります。この場合、アルゴリズムを非常に大胆にする設定を行います。

optimizer = BayesianOptimization(target, {'x': (-2, 10)}, random_state=27)
optimizer.maximize(init_points=2, n_iter=0, kappa=5)

最初に、プロットを簡単にするためにいくつかの関数を定義しましょう。

def posterior(optimizer, x_obs, y_obs, grid):
    optimizer._gp.fit(x_obs, y_obs)

    mu, sigma = optimizer._gp.predict(grid, return_std=True)
    return mu, sigma

def plot_gp(optimizer, x, y):
    fig = plt.figure(figsize=(16, 10))
    steps = len(optimizer.space)
    fig.suptitle(
        'Gaussian Process and Utility Function After {} Steps'.format(steps),
        fontdict={'size':30}
    )
    
    gs = gridspec.GridSpec(2, 1, height_ratios=[3, 1]) 
    axis = plt.subplot(gs[0])
    acq = plt.subplot(gs[1])
    
    x_obs = np.array([[res["params"]["x"]] for res in optimizer.res])
    y_obs = np.array([res["target"] for res in optimizer.res])
    
    mu, sigma = posterior(optimizer, x_obs, y_obs, x)
    axis.plot(x, y, linewidth=3, label='Target')
    axis.plot(x_obs.flatten(), y_obs, 'D', markersize=8, label=u'Observations', color='r')
    axis.plot(x, mu, '--', color='k', label='Prediction')

    axis.fill(np.concatenate([x, x[::-1]]), 
              np.concatenate([mu - 1.9600 * sigma, (mu + 1.9600 * sigma)[::-1]]),
        alpha=.6, fc='c', ec='None', label='95% confidence interval')
    
    axis.set_xlim((-2, 10))
    axis.set_ylim((None, None))
    axis.set_ylabel('f(x)', fontdict={'size':20})
    axis.set_xlabel('x', fontdict={'size':20})
    
    utility_function = UtilityFunction(kind="ucb", kappa=5, xi=0)
    utility = utility_function.utility(x, optimizer._gp, 0)
    acq.plot(x, utility, label='Utility Function', color='purple')
    acq.plot(x[np.argmax(utility)], np.max(utility), '*', markersize=15, 
             label=u'Next Best Guess', markerfacecolor='gold', markeredgecolor='k', markeredgewidth=1)
    acq.set_xlim((-2, 10))
    acq.set_ylim((0, np.max(utility) + 0.5))
    acq.set_ylabel('Utility', fontdict={'size':20})
    acq.set_xlabel('x', fontdict={'size':20})
    
    axis.legend(loc=2, bbox_to_anchor=(1.01, 1), borderaxespad=0.)
    acq.legend(loc=2, bbox_to_anchor=(1.01, 1), borderaxespad=0.)

plot_gp(optimizer, x, y)

すると以下が出力されます。

あとは、以下のコードを任意回数を繰り返す。

optimizer.maximize(init_points=0, n_iter=1, kappa=5)
plot_gp(optimizer, x, y)

3回目

4回目

12回目

12回目でついに最大値を見つけることができます。

まとめ

今回は、BayesianOptimizationによるベイズ最適化について解説しました。

ベイズ最適化は、少ない実験回数で、最適解を求める場合に用いる手法です。

今回の記事は、以上です。